Matemática - Potenciação

Potenciação

O resultado de uma potenciação é obtido pelo produto de fatores iguais e a sua representação é dada por an = a . a . a . a ...

A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:

aⁿ = a . a . a . a …

a = base
n = expoente
a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência

Para compreender melhor, acompanhe os exemplos abaixo:

⇒ 2³ = 2 . 2 . 2 = 8

2 = base
3 = expoente
2 . 2 . 2 = produto de fatores
8 = potência

Como o expoente é 3, tivemos que repetir a base, que é 2 três vezes, em um produto.

⇒ 5⁴ = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

5 = base
4 = expoente
5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores
625 = potência

Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.

⇒ 10² = 10 . 10 = 100

10 = base
2 = expoente
10 . 10 = produto de fatores
100 = potência

Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.

Tipos de potenciação

• Base real e expoente inteiro
  Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.

⇒ Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos:

2⁺² = 2 . 2 = 4
0,3⁺³ = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027
(½ )⁺² = ½ . ½ = ¼

⇒ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos:

2^-2 =   1  = 1 . 1 = 1
        2⁺²     2   2    4

0,3 ^{– 3} = (3)^-3 = (10)⁺³ = 10 . 10 . 10 = 1000 = 37,037
           (10)^-3     (3)⁺³        3 . 3 . 3        27

(½ )^-2 = (2/1)⁺² = 2 . 2 = 4

⇒ Expoente igual a 1

Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:

a¹ = a
2¹ = 2
4¹ = 4
100¹ = 100

⇒ Expoente igual a 0

Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:

a⁰ = 1
1000⁰ = 1
25⁰ = 1

Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:

1. Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos:
   aⁿ . a^m = a^{n + m}
   2² . 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵
   4⁵ . 4² = 4^{5 + 2} = 4⁷

Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos:

aⁿ : a^m = aⁿ = a^{n - m}
              a^m
5⁶ : 5² = 5⁶ = 5^{6 – 2} = 5⁴
             5²
9² : 9³ = 9² = 9^{2 – 3} = 9^-1
             9³

1. Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:
   (aⁿ)^m = a^{n . m} 
   (7⁴)² = 7^{4 . 2} = 7⁸
   (12³)² = 12^{3 . 2} = 12⁶
2. Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:
   (a . b)ⁿ = ( aⁿ . bⁿ)
   (4 . 5)² = (4² . 5²)
   (12 . 9)³ = (12³ . 9³)
3. Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:
   aⁿ . bⁿ = (a . b)ⁿ
   4² . 6² = (4 . 6)²
   7³ . 4³ = (7 . 4)³