Matemática - Mediana e baricentro.

  Chamamos mediana de um triângulo o segmento cujas extremidades são um dos vértices desse triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Um triângulo possui três medianas. Através da Geometria analítica podemos determinar as medidas das medianas de um triângulo. Vejamos:

  Seja ABC o triângulo a seguir, de vértices A( 1, 1 ), B( -1, 3 ) e C( 6, 4 ).

  Vamos determinas a medida da mediana relativa ao lado BC:

• O ponto médio M de BC é dado por:

((Xb + Xc)/2 , (Yb + Yc)/2) = ((-1 + 6)/2 , (3 + 4)/2) => M(5/2 , 7/2)

• O comprimento da mediana AM é obtido calculando-se a distância entre A e M:

dAM=√(1 - 5/2)² + (1 - 7/2)² = √(-3/2)² + (-5/2)² = √9/4 + 25/4 = √34/4 = (√34)/2

  Por meio de um procedimento análogo, podemos determinar o comprimento das medianas BN e CP.

  As três medianas intersectam-se no ponto G, indicando na figura anterior. O ponto de encontro das três medidas de um triângulo é chamado baricentro do triângulo. Veremos a seguir como podemos determinar as coordenadas do baricentro

Determinação das coordenadas do baricentro de um triângulo

  Sejam A( Xa, Ya ), B( Xb, Yb ) e C( Xc, Yc ) três pontos não alinhados no plano cartesiano. consideremos o triângulo ABC.

  As três medianas relativas aos lados AB, BC e AB são, respectivamente, CN, AP e BM. Elas se encontram no ponto G, baricentro do triângulo. 

  Vamos obter as coordenadas de G. Para isso, é preciso lembrar uma propriedade da Geometria Plana: o baricentro do triângulo divide cada mediana em dois segmentos cujas medidas estão na razão 2 : 1, isto é, o segmento que tem um vértice do triângulo como uma de suas extremidades mede o dobro do outro. Veja, por exemplo, a mediana CN, que fica dividida em dois segmentos: CG e GN, com CG = 2(GN).

Temos:

• N é o ponto médio de AB => 

• Q é o ponto médio de CG =>

• G é o ponto médio de QN =>

• Por que G é o ponto médio de QN ?

  Substituindo ( 1 ) e ( 3 ) em ( 5 ), temos:

Xg = Xq/2 + Xn/2 => Xg = (Xg + Xc)/4 + (Xa + Xb)/4 => 3Xg/4 = (Xa + Xb + Xc)/4=> Xg = (Xa + Xb + Xc)/3

  Analogamente, substituindo ( 2 ) e ( 4 ) em ( 6 ), podemos concluir que:

Yg = (Ya + Yb + Yc)/3

  Assim, as coordenadas de G são ((Xa + Xb + Xc)/3 , (Ya + Yb + Yc)/3).

  Observe que a abscissa do baricentro é igual à média aritmética das abscissas dos vértices do triângulo. Da mesma forma, a ordenada do baricentro é igual à média aritmética das ordenadas dos vértices do triângulo.

Exemplo:

  Considerando o triângulo ABC , as coordenadas de seu baricentro(G)

são:

Xg = (Xa + Xb + Xc)/3 = ( 1 + ( -1 ) + 6 )/3 = 2

Yg = (Ya + Yb + Yc)/3 = ( 1 + 3 + 4 )/3 = 8/3 

G ( 2 , 8/3 )